دو زاویهٔ $\alpha$ و $\pi - \alpha$ را مکمل یکدیگر میگوییم؛ هرگاه مجموع آنها $180^{\circ}$ یا $\pi \text{ رادیان}$ شود. مثلاً دو زاویهٔ $30^{\circ}$ و $150^{\circ}$ و همچنین دو زاویهٔ $\frac{\pi}{3} \text{ رادیان}$ و $\frac{2\pi}{3} \text{ رادیان}$ مکمل یکدیگرند. انتهای کمان زاویهٔ $150^{\circ}$ که در ربع دوم واقع است، نسبتهای مثلثاتی زیر اگر $\alpha = 30^{\circ}$ باشد با توجه به مختصات نقطهٔ $P''$ عبارتاند از:
$$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = y = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$$
$$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -x = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan 150^{\circ} = \dots = \dots$$
$$\cot 150^{\circ} = \dots = \dots$$
$$\text{قرینهٔ یک نقطه با مختصات } (x, y) \text{ نسبت به محور عمودی به مختصات } (-x, y) \text{ است.}$$
زاویهٔ $150^{\circ}$ در ربع دوم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد و مکمل زاویهٔ $30^{\circ}$ است ($180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$). مختصات نقطهٔ $P''$ (انتهای کمان $150^{\circ}$) قرینهٔ نقطهٔ $P$ (انتهای کمان $30^{\circ}$) نسبت به محور عمودی ($in$) است: $P''(x', y') = (-x, y)$.
**روابط زوایای مکمل (نسبت کاهنده)**:
$$\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha \quad (\text{مثبت})$$
$$\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha \quad (\text{منفی})$$
$$\tan(180^{\circ} - \alpha) = -\tan \alpha \quad (\text{منفی})$$
$$\cot(180^{\circ} - \alpha) = -\cot \alpha \quad (\text{منفی})$$
## ۱. محاسبهٔ $\tan 150^{\circ}$
$$\tan 150^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{یا } -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\mathbf{\tan 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{3}}$$
## ۲. محاسبهٔ $\cot 150^{\circ}$
$$\cot 150^{\circ} = \cot(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cot 30^{\circ} = -\sqrt{3}$$
$$\mathbf{\cot 150^{\circ} = -\sqrt{3}}$$
نسبتهای مثلثاتی زاویهٔ $\frac{5\pi}{6} \text{ رادیان}$ را مطابق نمونه به دست آورید.
$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \dots$$
$$\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \dots$$
$$\cot\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \dots$$
زاویهٔ $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ (معادل $150^{\circ}$) در ربع دوم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد و مکمل زاویهٔ $\frac{\pi}{6}$ (معادل $30^{\circ}$) است.
**در ربع دوم**: $\sin$ مثبت و بقیه منفی هستند.
## ۱. محاسبهٔ $\cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)$
$$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
## ۲. محاسبهٔ $\tan \left(\frac{5\pi}{6}\right)$
$$\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{یا } -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
## ۳. محاسبهٔ $\cot \left(\frac{5\pi}{6}\right)$
$$\cot\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cot\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$$
